Las ecuaciones diferenciales ordinarias de orden fraccionario, se han presentado como una herramienta
de vital importancia en la modelización de la dinámica anómala de diversos problemas provenientes de las
ciencias exactas y la ingeniería, sin embargo, todavía está en discusión una teoría clara y coherente de
manera análoga a la teoría clásica de las ecuaciones diferenciales ordinarias. El carácter no local de sus
operadores fraccionarios brinda información adicional que permite desarrollar un análisis exhaustivo de los
modelos matemáticos implicados. Dentro de estas ecuaciones diferenciales de orden fraccionario, el
enfoque cualitativo es un tema abierto de estudio en la actualidad, en el cual el análisis de estabilidad tiene
un papel preponderante.
Esta investigación tiene como objetivo la realización del análisis de estabilidad de sistemas de ecuaciones
diferenciales no lineales de tipo fraccionario para el orden 0 < ¿ < 1 y 1 < ¿¿ < 2 aplicado a los modelos
biológicos de Hodgkin-Huxley y Lotka-Volterra. Para ello, inicialmente se espera realizar un desarrollo
teórico de estabilidad para estos sistemas en el orden 0 < ¿¿ < 1utilizando los conceptos de estabilidad en
el sentido de Mittag-Leffler y Lyapunov, para luego realizar la extensión no trivial para el orden 1 < ¿¿ < 2.
Una vez que se hayan establecido los conceptos de estabilidad para estos órdenes, se espera aplicarlos
en el análisis de los modelos biológicos de Hodgkin-Huxley y Lotka-Volterra.
La metodología de investigación propuesta para dar alcance a los objetivos planteados está enfocada en
un trabajo colaborativo compuesto por tres fases: fase inicial, fase introductoria y fase de aplicación. En la
fase inicial, se pretende realizar un desarrollo teórico de los sistemas de ecuaciones diferenciales no
lineales de tipo fraccionario basados en los operadores de derivada fraccionaria de Riemann-Liouville y
Caputo. En la fase introductoria, de acuerdo a las nociones que se tienen de estabilidad en el sentido de
Mittag-Leffler y Lyapunov, se realizará un análisis de estabilidad de estos sistemas para el orden
0 < ¿¿ < 1 y se efectuará una extensión no trivial para el orden 1 < ¿¿ < 2. Finalmente, en la fase de
aplicación, los resultados obtenidos de estabilidad se analizarán en el estudio de las dinámicas de los
modelos de Hodgkin-Huxley y Lotka-Volterra.
Como resultados se espera: presentar hipótesis para analizar la estabilidad de sistemas de ecuaciones
diferenciales fraccionarias no lineales para el orden 0 < ¿¿ < 1 que permitan realizar la extensión no trivial
para el orden 1 < ¿¿ < 2. También se espera realizar un análisis cualitativo de la dinámica de los modelos
biológicos Hodgkin-Huxley y Lotka-Volterra enfatizados en los resultados obtenidos de estabilidad. Con ello
se contribuirá en el estudio cualitativo de las ecuaciones diferenciales no lineales de tipo fraccionario
enfocadas en la teoría de estabilidad para el orden mencionado. Además, se espera contribuir en la
formación de recurso humano en la línea de investigación de análisis fraccionario y ecuaciones
diferenciales fraccionarias establecida en los grupos de investigación GEDNOL y GEEA a nivel de pregrado
y posgrado.
