Jose Rodrigo Gonzalez Granada

4 horas

CODIGO CIE

3-20-13

Alex Raimundo Sepúlveda Cerda

Coinvestigador

4 Horas

Javier Alexánder Tenorio Quiñones

Estudiante

4 Horas

TIPO DE CONVOCATORIA

2020. Sin Financiación

TIPO DE PROYECTO

Investigación Aplicada

OBJETIVO(S)

Estudiar el método de transformadas integrales como herramienta efectiva para la resolución de modelos diferenciales fraccionarios aplicados a diversas áreas del conocimiento en distintos contextos de derivada fraccionaria

RESUMEN

El análisis fraccionario es tan antiguo como el análisis clásico, pero ha debido esperar que este último se desarrolle para poder formular bases sólidas. Hoy en día es una parte de la matemática con una dinámica propia que abarca tanto la investigación teórica como la aplicada. Dada la diversidad de generalizaciones de integral y derivada fraccionaria se ha hecho complejo desarrollar una metodología estándar y uniforme para cada problema modelado mediante ecuaciones diferenciales fraccionarias como ocurre con la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. Como es lógico esto deja abierta una puerta para desarrollar muchas líneas de investigación tanto analíticas, numéricas o mixtas.Por otro lado, una estrategia que ha sido muy fructífera en cuanto a la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales es la de transformadas integrales la que ha permitido solucionar problemas que de otra forma no podrían haber sido resueltos. En este trabajo pretendemos desarrollar la teoría fundamental de las transformadas integrales aplicada a los modelos diferenciales fraccionarios. Haremos hincapié en las transformadas integrales, tanto en su formulación analítica como inversión numérica. Teniendo clara la teoría asociada a esta conjunción de tópicos pretendemos aplicarla a algunos problemas aplicados a diversas áreas del conocimiento actual.

SÍNTESIS DEL PROYECTO

En este trabajo se investigaron las transformadas integrales de Laplace, Fourier y Mellin como métodos de resolución de ecuaciones diferenciales fraccionarias. Estas técnicas se basaron en las definiciones de las derivadas fraccionarias de Liouville, Caputo, y algunas propias con modificaciones para la convergencia absolut, las cuales permitieron extender los conceptos de las transformadas a integrales definidas en el análisis clásico a su versión fraccionaria. Mediante las transformadas integrales, se logró abordar problemas de condición inicial de Cauchy que originalmente estaban definidos para órdenes de derivación e integración enteros, y se pudo extender su aplicación a órdenes arbitrarios, reales y complejos. Este enfoque resultó de gran interés, ya que proporcionó una visión global de la evolución de las soluciones hasta alcanzar los valores establecidos en el análisis clásico. Fue fundamental comprender los aspectos geométricos que no se pueden obtener a través del análisis clásico, pero que son accesibles desde la perspectiva fraccionaria. Sin embargo, a pesar de la importancia de estos resultados, siguen surgiendo nuevas interrogantes interesantes pero desafiantes que requieren una interpretación física y práctica más precisa. Es evidente que, con fines pragmáticos, es necesario comprender el significado de una derivada fraccionaria y de otros órdenes arbitrarios distintos a los estudiados comúnmente en el análisis clásico. Se pudo empezar a trabajar en una definición de la integral fraccionaria generalizada y la cual permitió extenderse a soluciones y a problemas que pudieron ser abordados desde las integrales de funciones de la forma. Además, se abrirá un área de investigación importante, como los métodos numéricos para la conversión de operadores integrodiferenciales, que pueden utilizarse como herramientas de aproximación para soluciones de funciones no enteras. En problemas que involucren ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales enteras, siempre será necesario trabajar con la transformada de Laplace de la derivada fraccionaria de Caputo. Sin embargo, en aquellos casos donde no haya condiciones iniciales enteras, se recomienda utilizar la transformada de Laplace de la derivada fraccionaria de RiemannLiouville, especialmente en funciones polinomiales y trigonométricas, ya que dicha definición hereda en gran medida todas las propiedades que se derivan del cálculo clásico. Es de suma importancia que la comunidad académica comprenda que esta versión generalizada del análisis y en particular del cálculo, alguna vez iniciada por Isaac Newton y Gottfried Leibniz, se aleja de la concepción tradicional y explora nuevos panoramas. Destruye paradigmas y contempla posibilidades que no necesariamente están bajo los parámetros clásicos, y va más allá de lo convencional, exigiendo una redefinición del análisis clásico. El avance en el campo del Cálculo Fraccionario requiere una búsqueda constante de nuevos conocimientos y aprendizajes. Es importante considerar la posibilidad de que las diferentes definiciones de derivadas e integrales fraccionarias surjan de una definición general, que se obtendría al establecer ciertos límites o parámetros. No debemos considerar esto como algo utópico, ya que la existencia de una definición general o conexión entre las diversas derivadas e integrales aclararía el panorama analítico y eliminaría la incertidumbre en torno a la singularidad de estos operadores. Investigar la efectividad de las construcciones matemáticas en términos de los operadores integro-diferenciales es crucial para impulsar el desarrollo de esta línea de investigación. Comprender el comportamiento de las funciones obtenidas bajo parámetros arbitrarios y cómo estas pueden contribuir a una interpretación más amplia de fenómenos físicos complejos, que no se explican completamente mediante el cálculo clásico, sigue siendo la clave de estas investigaciones. Se resolvió la Ecuación de Black Scholes desde la perspectiva fraccionaria y su versión fraccionaria, cuya solución se obtuvo de la forma Donde: V(T,S) es el precio de un derivado, S el derivado financiero, t el intervalo de tiempo del derivado financiero, r la tasa de interés, T el vencimiento del derivado, y F(s) el valor del derivado en el instante T.

ESTADO

Concluye Satisfactoriamente

FECHA DE INICIO

23/12/2020

FECHA DE FINALIZACION

23/12/2022

FECHA DE FIN(PRÓRROGA)

23/06/2023

PRODUCTOS

Analysis for the reconstruction of attractors by reconstruction of phase spaces using delay times

Artículo en revista indexada

URL

Estudios de las Transformadas Integrales como Método de Resolución de Ecuaciones Diferenciales Fraccionarias y sus Aplicaciones

Dirección de trabajo de grado

Estudios de las Transformadas Integrales como Método de Resolución de Ecuaciones Diferenciales Fraccionarias y sus Aplicaciones

Proyecto de grado

Stability Analysis of the Lorenz System using Hurwitz Polynomials

Artículo en revista indexada

URL